Question

定义在R上的奇函数f（x）=2^x+m•2^-x．
（1）求m的值，并求当f（x）＞2^2-x时，实数x的取值范围；
（2）当x∈[-2，1]时，不等式f（x）＜|k|-

1

2

恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=1+m=0，求得m的值，可得f（x）的解析式．再利用指数函数的单调性求得f（x）＞2^2-x 的解集．
（2）根据函数f（x）的单调性求得函数f（x）的最大值为f（1），再根据不等式f（1）＜|k|-

1

2

，求得k的范围．

解答： 解：（1）由于f（x）=2^x+m•2^-x 为奇函数，故有f（0）=1+m=0，求得 m=-1，f（x）=2^x -2^-x．
由f（x）＞2^2-x ，可得2^x -2^-x＞2^2-x ，即2^2x＞5，求得x＞

1

2

log₂5，故x的范围是（

1

2

log₂5，+∞）．
（2）由于函数f（x）=2^x -2^-x 在R上是增函数，故当x∈[-2，1]时，函数f（x）的最大值为f（1）=

3

2

．
再根据不等式f（x）＜|k|-

1

2

恒成立，可得

3

2

＜|k|-

1

2

，即|k|＞2，求得k＞2，或 k＜-2．

点评：本题主要指数函数的图象和性质，函数的单调性和奇偶性，属于基础题．