Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M是AC的中点，PA=AB=4，且∠CAD=30°，点N在线段PB上，且

BN

NP

=3．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥N-PAC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）通过证明线段成比例证明MN∥PD，利用直线 平面平行的判定定理证明MN∥平面PDC；
（II）连接PM，在△PBM中，过N作NE∥BM交PM于点E，由线面垂直的判定定理可得NE为三棱锥N-PAC的高，求出棱锥的底面积，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答： 证明：（I）在正三角形ABC中，BM=2

3

，AC=AB=4，
在△ACD，因为M为AC中点，DM⊥AC，
所以AD=CD
∠CAD=30°，
所以，DM=

2 3

3

，
所以BM：MD=3：1，
所以BN：NP=BM：MD，
所以MN∥PD，
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，
所以MN∥平面PDC；
解：（II）∵PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴PA⊥BM，
又由BM⊥AC，AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，
∴BM⊥平面PAC，

连接PM，在△PBM中，过N作NE∥BM交PM于点E，
则NE⊥平面PAC，即NE为三棱锥N-PAC的高，
∵BM=2

3

，且

BN

NP

=3．
∴NE=

1

4

BM=

3

2

，
又∵△PAC的面积S=

1

2

×4×4=8，
故三棱锥N-PAC的体积V=

1

3

×8×

3

2

=

4 3

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定及性质，难度中档．