Question

已知集合A={x|（x-1）（x-a）（x-a²）=0，a∈R}．
（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；
（2）求集合A中所有元素的和．

Answer 1

考点：集合的表示法,元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）若集合A中只有一个元素，则1=a=a²，解得实数a的值；
（2）当a=1时，集合A={1}；当a=-1时，集合A={1，-1}；当a=0时，集合A={1，0}；当a≠±1且a≠0时，集合A={1，a，a²}；进而得到集合A中所有元素的和．

解答： 解：（1）集合A={x|（x-1）（x-a）（x-a²）=0，a∈R}表示方程（x-1）（x-a）（x-a²）=0的解集，
若集合A中只有一个元素，则1=a=a²，
解得：a=1，
（2）由（1）知，当a=1时，集合A={1}，此时集合A中所有元素的和为1；
当a=-1时，集合A={1，-1}，此时集合A中所有元素的和为0；
当a=0时，集合A={1，0}，此时集合A中所有元素的和为1；
当a≠±1且a≠0时，集合A={1，a，a²}，此时集合A中所有元素的和为a²+a+1；

点评：本题考查的知识点是集合元素的互异性，分类讨论思想，难度不大，属于基础题．