Question

如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA₁=3，E为棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面A₁C₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角C-DE-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以A为坐标原点，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系．求出D，A₁，C₁，C，B，E的坐标，以及向量DE，A₁C₁，DE的坐标，证明它们垂直，再运用面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）求出

EC1

，

DC

的坐标，设平面C₁DE的一个法向量为

m

=（x，y，z），运用向量垂直的条件，求出法向量m，同理可得平面CDE的法向量

n

，再由两向量的夹角公式，即可得到所求的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意可知，△ACD与△ABC为全等的等边三角形．以A为坐标原点，
AD，AA₁所在直线分别为x轴，z轴，建立空间直角坐标系．如图所示，
D（2，0，0），A₁（0，0，3），C₁（1，

3

，1），C（1，

3

，0），B（-1，

3

，0），E（

1

2

，

3

2

，0）

DB

=（-3，

3

，0），

A1C1

=（1，

3

，0），

DE

=（-

3

2

，

3

2

，3），
∵

DB

•

A1C1

=-3+3=0，

DE

•

A1C1

=-

3

2

+

3

2

=0，
∴A₁C₁⊥DB，A₁C₁⊥DE，又DB∩DE=D，DB，DE?平面BDE_l，
∴A₁C₁⊥平面BDE，又A₁C₁?平面AC₁D，∴平面A₁C₁D⊥平面BDE；
（Ⅱ）解：

EC1

=（

1

2

，

3

2

，0），

DC

=（-1，

3

，0）
设平面C₁DE的一个法向量为

m

=（x，y，z），则

m • DE =- 3 2 x+ 3 2 y+3z=0 m • EC1 = 1 2 x+ 3 2 y=0

，令x=

3

，

m

=(

3

，-1，

2 3

3

)，
同理可得平面CDE的法向量

n

=（

3

，1，

3

3

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3-1+ 2 3

4+ 1 3 • 4+ 4 3

=

2 13

13

∵二面角为锐角二面角，∴二面角C-DE-C₁的余弦值为

2 13

13

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面、面面垂直的判定和性质，同时考查二面角的平面角的求法，考查运用空间向量，证明线面垂直，以及应用法向量求二面角的平面角，考查运算能力，属于中档题．