Question

3．对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减；
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]
（2）判断函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+$\sqrt{x+2}$是闭函数，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）将f（x）变形，得到f（x）的单调区间，根据闭函数的定义判断即可；
（3）根据闭函数的定义得到方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根，通过讨论k，得到关于k的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）由题意，y=-x³在[a，b]上递减，则$\left\{\begin{array}{l}b=-{a^3}\\ a=-{b^3}\\ b＞a\end{array}\right.解得\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1.\end{array}\right.$，
所以，所求的区间为[-1，1]（4分）
（2）$f（x）=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，+∞）上单调递增，
所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数．（8分）
（3）若$y=k+\sqrt{x+2}$是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，
函数f（x）的值域为[a，b]，即$\left\{\begin{array}{l}a=k+\sqrt{a+2}\\ b=k+\sqrt{b+2}\end{array}\right.$，
∴$a，b为方程x=k+\sqrt{x+2}$的两个实数根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有两个不等的实根．（10分）
当$k≤-2时，有\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（-2）≥0\\ \frac{2k+1}{2}＞-2\end{array}\right.解得-\frac{9}{4}＜k≤-2$．
当$k=-2时，有\left\{\begin{array}{l}△＞0\\ f（k）≥0\\ \frac{2k+1}{2}＞k\end{array}\right.$此不等式组无解．
综上所述，$k∈（-\frac{9}{4}，-2]$（14分）

点评 本题考查了新定义问题，考查函数的单调性问题，是一道中档题．