Question

（2009•黄浦区二模）已知x∈R，ω＞0，

u

=(sinωx，sin(ωx-

π

2

))，

v

=(1，

3

)，函数f(x)=1+

u

•

v

•sinωx的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值．
（2）求函数y=f(x)在区间[-

π

8

，

π

8

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简函数解析式后，再根据二倍角的正弦、余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期公式及已知的周期即可求出ω的值；
（2）把（1）求出的ω的值代入确定出函数解析式，由x的范围，求出化简后解析式中角度的范围，根据正弦函数的图象与性质可得出正弦函数的值域，进而得到函数的值域．

解答：解：（1）依据题意，有f(x)=1+

u

•

v

•sinωx
=1+(sinωx，sin(ωx-

π

2

))•(1，

3

)•sinωx
=1+sin2ωx-

3

cosωx•sinωx（2分）
=1+

1-cos2ωx

2

-

3

2

sin2ωx（3分）
=

3

2

-sin(2ωx+

π

6

)，（4分）
又ω＞0，函数的最小正周期T=

π

2

，
∴2ω=

2π

T

，ω=2；（6分）
（2）由（1）可知，f(x)=

3

2

-sin(4x+

π

6

)，
当-

π

8

≤x≤

π

8

时，可得-

π

2

≤4x≤

π

2

，-

π

3

≤4x+

π

6

≤

2π

3

，（8分）
考察正弦函数的图象，
进一步有：-

3

2

≤sin(4x+

π

6

)≤1，
所以

1

2

≤

3

2

-sin(4x+

π

6

)≤

3+ 3

2

，（13分）
所以函数y=f(x)在[-

π

8

，

π

8

]上的取值范围是[

1

2

，

3+ 3

2

]．（14分）

点评：此题考查了平面向量的数量积运算法则，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差额正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键．