Question

【题目】已知函数图像上一点处的切线方程为

（1）求的值；

（2）若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；

（3）令如果的图像与轴交于两点，的中点为，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据导数的几何意义可知，利用切线方程求得，代入曲线可得关于的方程，与联立可构造方程组求得结果；（2）将问题转化为与的图象在上有两个交点；利用导数得到在上的单调性和最值，从而确定有两个交点时的取值范围，进而得到结果；（3）采用反证法，假设，利用在上，中点坐标公式和可化简整理得到，令，构造函数，利用导数可知在上单调递增，从而得到，与等式矛盾，可知假设不成立，从而证得结论.

由题意得：定义域为；

（1）在处的切线方程为：

，解得：

（2）方程在区间内有两个不等实根等价于与的图象在上有两个交点

由（1）知：，

当时，；当时，

在上单调递增，在上单调递减

又，

，解得：

（3），则

假设，则有：

…①；…②；

…③；…④

①②得：

由④得： ，即：

，即

令，由得：

设，

在上单调递增

不成立，即假设不成立