【题目】已知数列、
满足:
,
,
,
.
(1)求,
,
,
;
(2)求证:数列是等差数列,并求
的通项公式;
(3)设,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
,
,
(2)证明见解析,
(
)(3)
【解析】
(1)根据已知条件求得与
的递推关系式,由此先求出
,进而依次求得
的值.
(2)由(1)中求得的与
的递推关系式,利用配凑法证得数列
是等差数列,由此求得数列
的通项公式,进而求得数列
的通项公式.
(3)由(2)求得数列的通项公式,利用裂项求和法求得
.
解法一:利用分离常数法化简不等式,得到
,利用数列的单调性证得
,由此求得
的取值范围.
解法二:通过差比较法,化简,对
分类讨论,结合二次函数的性质求得
的取值范围.
(1)由于,所以
,
因为,所以,
,
,
,
.
(2),
,
所以,,
所以,数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
所以,,
(
).
(3)因为,从而
,
所以,
,
解法一:
所以,不等式化为
,
即当
时恒成立,
令,
则随着
的增大而减小,且
恒成立.
故,所以,实数
的取值范围是
.
解法二:
,
若不等式对任意
恒成立,则当且仅当
对任意
恒成立.
设,由题意,
,
当时,
恒成立;
当时,函数
图像的对称轴为
,
在
上单调递减,即
在
上单调递减,故只需
即可,
由,得
,所以当
时,
对
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】若、
是异面直线,则下列命题中的假命题为( )
A.过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面
与直线
平行
B.过直线至多可以作一个平面
与直线
垂直
C.唯一存在一个平面与直线
、
等距
D.可能存在平面与直线
、
都垂直
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【题目】已知表示不小于
的最小整数,例如
.
(1)设,
,若
,求实数
的取值范围;
(2)设,
在区间
上的值域为
,集合
中元素的个数为
,求证:
;
(3)设(
),
,若对于
,都有
,求实数
的取值范围.
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【题目】若数列中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称
为“等比源数列”。
(1)在无穷数列中,
,
,求数列
的通项公式;
(2)在(1)的结论下,试判断数列是否为“等比源数列”,并证明你的结论;
(3)已知无穷数列为等差数列,且
,
(
),求证:数列
为“等比源数列”.
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
的中心为
,一个方向向量为
的直线
与
只有一个公共点
(1)若且点
在第二象限,求点
的坐标;
(2)若经过的直线
与
垂直,求证:点
到直线
的距离
;
(3)若点、
在椭圆上,记直线
的斜率为
,且
为直线
的一个法向量,且
求
的值.
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【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:
.若抛物线
的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
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【题目】某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2,海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB,且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段MPN是函数图象的一段,点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米,点N到l2的距离为10千米,以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设点P的横坐标为p.
(1)求曲线段MPN的函数关系式,并指出其定义域;
(2)若某人从点O沿公路至点P观景,要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近,求p的取值范围.
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