【题目】若、是异面直线,则下列命题中的假命题为( )
A.过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行
B.过直线至多可以作一个平面与直线垂直
C.唯一存在一个平面与直线、等距
D.可能存在平面与直线、都垂直
【答案】D
【解析】
在A中,把直线平移与直线相交,确定一个平面内平行于;在B中,反设过直线能作平面、使得、,推出矛盾;在C中,过异面直线、的公垂线段的中点作与该公垂线垂直的平面可满足条件;在D中,若存在平面与直线、都垂直,则.
在A中,由于、是异面直线,把直线平移与直线相交,可确定一个平面,这个平面与直线平行,A选项正确;
在B中,若过直线能作平面、使得、,则,这与矛盾,
所以,过直线最多只能作一个平面与直线垂直,由,可得,
当直线与不垂直时,过直线不能作平面与直线垂直,B选项正确;
在C中,由于、是异面直线,则两直线的公垂线段只有一条,过该公垂线段的中点作平面与该公垂线垂直,这样的平面有且只有一个,且这个平面与直线、等距,C选项正确;
在D中,若存在平面与直线、都垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得,D错误.
故选:D.
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【题目】已知,,,是各项均为正数的等差数列,其公差大于零.若线段,,,的长分别为,,,,则( ).
A.对任意的,均存在以,,为三边的三角形
B.对任意的,均不存在以,,为三边的三角形
C.对任意的,均存在以,,为三边的三角形
D.对任意的,均不存在以,,为三边的三角形
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,,直线l与椭圆C交于P,Q两点,且点M满足.
(1)若点,求直线的方程;
(2)若直线l过点且不与x轴重合,过点M作垂直于l的直线与y轴交于点,求实数t的取值范围.
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【题目】已知函数(为常数,且),且数列是首项为,公差为的等差数列.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若,当时,求数列的前项和的最小值;
(3)若,问是否存在实数,使得是递增数列?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
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【题目】甲、乙两位同学参加诗词大赛,各答3道题,每人答对每道题的概率均为,且各人是否答对每道题互不影响.
(Ⅰ)用表示甲同学答对题目的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”,求事件发生的概率.
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【题目】如图所示:湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行,某一时刻,甲船在最前面的点处,乙船在中间点处,丙船在最后面的点处,且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量,在同一时刻测得, .(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)
(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比;
(2)若此时甲、乙两船相距100米,求无人机到丙船的距离.(精确到1米)
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