Question

10．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是$\frac{\sqrt{15}}{2}$，cos∠BDC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S_△ABC，再根据S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出

解答 解：如图，取BC得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1，AE⊥BC，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{15}$=$\sqrt{15}$，
∵BD=2，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
∴cos∠ABE=2cos²∠BDC-1=$\frac{1}{4}$，
∴cos∠BDC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{4}$

点评 本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题