Question

若不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈[1，4]上恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A、[

  1

  10

  ，3]
• B、[

  1

  6

  ，

  3

  8

  ]
• C、[

  1

  10

  3

  8

  ]
• D、[

  4

  25

  ，3]

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，t∈[1，4]，利用基本不等式可求得f（t）_max，g（t）_min，从而可得答案．

解答： 解：令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，t∈[1，4]，
∵令f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，
∴t+

9

t

在[1，3]上单调递减，（3，4]单调递增，
∴f（t）在[1，3]上单调递增，（3，4]单调递减，上单调递增，
∴f（t）_max=f（3）=

1

6

；
同理可得g（t）=

t+2

(t+2-2)2

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

在t∈[1，4]上单调递减，
∴g（t）_min=g（4）=

3

8

．
∴f（t）_max≤a≤g（t）_min，即

1

6

≤a≤

3

8

．
故答案为：[

1

6

，

3

8

]．

点评：本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，着重考查双钩函数的性质，考查构造函数与转化的思想，综合性强，属于难题．