Question

11．已知x＞0，y＞0，lg2^x+lg4^y=lg2，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$3+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意：利用对数的运算法则，化简lg2^x+lg4^y，求出x，y的关系，利用基本不等式求解．

解答 解：根据对数的加减运算法则：lg2^x+lg4^y=lg2^x•4^y
∵lg2^x+lg4^y=lg2
∴lg2^x•4^y=lg2，
即：x+2y=1
∵x＞0，y＞0，
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（x+2y）=3+$\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$$≥3+2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{2y}{x}}=3+2\sqrt{2}$；
当且仅当x=$\sqrt{2}-1$，y=$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$3+2\sqrt{2}$
故答案为：$3+2\sqrt{2}$

点评 本题考查了对数的加减运算法则以及利用基本不等式的性质的运用．属于基础题．