Question

1．已知函数f（x）=ae^x-x²-（3a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln3）上有极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$）
• B． （-∞，-1）
• C． （-1，-$\frac{1}{2}$）
• D． （-∞，-2）∪（0，1）

Answer 1

分析 f′（x）=ae^x-2x-（3a+1）=g（x），由函数f（x）在区间（0，ln3）上有最值?g（x）在区间（0，ln3）上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出．

解答 解：f′（x）=ae^x-2x-（3a+1）=g（x），
由函数f（x）在区间（0，ln3）上有最值?g（x）在区间（0，ln3）上单调且存在零点．
∴g（0）g（ln3）=（a-3a-1）（3a-2ln3-3a-1）＜0，
可得2a+1＜0，解得a＜-$\frac{1}{2}$．
此时g′（x）=ae^x-2在区间（0，ln3）上单调递减．
∴实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．
故选：A．

点评 本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．