Question

已知函数f（x）=xe^x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f′（x）≥3kx-k对一切x∈[-1，+∞）恒成立，求正实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数与函数单调性的关系即可得出；
（II）原不等式等价于（1+x）e^x≥k（3x-1），对x分类讨论，再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（1+x）e^x，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），单调递减区间为（-∞，-1）．
（Ⅱ）由已知条件可知，原不等式等价于（1+x）e^x≥k（3x-1），
当-1≤x≤

1

3

时，
∵k＞0，∴k（3x-1）≤0，
而（1+x）e^x≥0，此时不等式显然成立；
当x＞

1

3

时，k≤

(1+x)ex

3x-1

．
设g（x）=

(1+x)ex

3x-1

(x＞

1

3

)，g′(x)=

(3x2+2x-5)ex

(3x-1)2

，
令g′（x）=0得x=-

5

x

或x=1，
当x∈(

1

3

，1)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故当x=1时，g（x）有最小值e，
即得0＜k＜e．

点评：本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值、分类讨论、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．