Question

15．过点P（-$\sqrt{3}$，-1）的直线l与圆x²+y²=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，直线l与圆x²+y²=1没有公共点；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y+$\sqrt{3}k-1=0$，由直线l与圆x²+y²=1有公共点，得到圆心（0，0）到直线的距离d小于等于圆半径，由此能求出直线l的倾斜角的取值范围．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=-$\sqrt{3}$，圆心（0，0）到直线的距离d=$\sqrt{3}$＞1，
直线l与圆x²+y²=1没有公共点；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为$y+1=k（x+\sqrt{3}）$，即kx-y+$\sqrt{3}k-1=0$，
∵直线l与圆x²+y²=1有公共点，
∴圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
解得0$≤k≤\sqrt{3}$，
∴直线l的倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{3}$]．
故答案为：[0，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，考查圆、直线方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．