Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）满足条件f（x+4）=﹣f（x），且函数y=f（x+2）是偶函数，当x∈（0，2]时， ，当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为3，则a的值等于（ ）
A.e2
B.e
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）=f（﹣x+2），

∴f（x）关于直线x=2对称，

∴当2≤x＜4时，f（x）=f（4﹣x）=ln（4﹣x）﹣a（4﹣x）．

∵f（x+4）=﹣f（x），

∴当﹣2≤x＜0时，f（x）=﹣f（x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln（﹣x）﹣ax，

∴f′（x）=﹣ ﹣a，

令f′（x）=0得x=﹣ ，

∵a ，∴﹣ ∈（﹣2，0），

∴当﹣2≤x＜﹣ 时，f′（x）＜0，当﹣ ＜x＜0时，f′（x）＞0，

∴f（x）在[﹣2，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，0）上单调递增，

∴当x=﹣ 时，f（x）取得最小值f（﹣ ）=﹣ln +1，

∵f（x）在[﹣2，0）上有最小值3，

∴﹣ln（ ）+1=3，解得a=e2．

故选A．