Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义f″（x）是y=f（x）的导函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是‘拐点’”．请你根据这一发现判断下列命题：

（1）任意三次函数都关于点对称；

（2）存在三次函数，f'（x）=0有实数解x₀，（x₀，f（x₀））点为函数y=f（x）的对称中心；

（3）存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

（4）若函数，则

其中正确命题的序号为（　　）

A．

（1）（2）（4）

B．

（1）（2）（3）（4）

C．

（1）（2）（3）

D．

（2）（3）

Answer 1

考点：

命题的真假判断与应用．

专题：

新定义．

分析：

（1）利用新定义，可知（1）正确；

（2）由（1）知，x₀=﹣，代入f'（x）=0，可得b²=3ac，由此可得结论；

（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心；

（4）求出对称中心，即可得到结论．

解答：

解：（1）由题意，f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），∴f″（x）=6ax+2b（a≠0），

∴令f″（x）=0，可得x=﹣，∴任意三次函数都关于点对称，故（1）正确；

（2）由（1）知，x₀=﹣，代入f'（x）=0，可得，∴b²=3ac，此时，存在三次函数，f'（x）=0有实数解x₀，（x₀，f（x₀））点为函数y=f（x）的对称中心，故（2）正确；

（3）由（1）知，三次函数有且只有一个对称中心，即不存在三次函数有两个及两个以上的对称中心，故（3）不正确；

（4）∵，∴g′（x）=x²﹣x

∴g″（x）=2x﹣1

令g″（x）=0，可得x=，∴g（1）=﹣

∴的对称中心为

∴g（x）+g（1﹣x）=﹣1

∴，即（4）正确，

故选A．

点评：

本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题．