Question

（2013•鹰潭一模）已知非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=

2 3

3

|

a

|，则

a

+

b

与

a

-

b

的夹角为

π

3

．

Answer 1

分析：由条件可得 

a

⊥

b

，|

a

|=

3

|

b

|，故以

OA

=

a

OB

=

b

为临边的平行四边形OACB为矩形，设OC∩AB=M，则∠AMC为

a

+

b

与

a

-

b

的夹角θ，设OB=1，则OA=

3

，
MC=MA=

OC

2

=1，可得△ACM为等边三角形，由此求得θ 的值．

解答：解：∵已知非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=

2 3

3

|

a

|，可得

a

2+2

a

•

b

+

b

2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=

4

3

a

2，
故有

a

•

b

=0，

a

2=3

b

2，即

a

⊥

b

，|

a

|=

3

|

b

|，故以

OA

=

a

 

OB

=

b

为临边的平行四边形OACB为矩形，
设OC∩AB=M，则∠AMC为

a

+

b

与

a

-

b

的夹角θ，设OB=1，则OA=

3

，MC=MA=

OC

2

=1，如图所示．
可得△ACM为等边三角形，∴θ=

π

3

，
故答案为

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，属于中档题．