Question

9．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{m^2}+{y^2}=1（{m＞1}）$与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-y²=1（n＞0）的焦点重合，e₁，e₂分别为C₁，C₂的离心率，则（　　）

• A． m＞n且e₁e₂＞1
• B． m＞n且e₁e₂＜1
• C． m＜n且e₁e₂＞1
• D． m＜n且e₁e₂＜1

Answer 1

分析 由题意可得m²-1=n²+1，即m²=n²+2，由条件可得m＞n，再由离心率公式，即可得到结论．

解答 解：由题意可得m²-1=n²+1，即m²=n²+2，
又m＞1，n＞0，则m＞n，
由e₁²•e₂²=$\frac{{m}^{2}-1}{{m}^{2}}$•$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}+1}{{n}^{2}+2}$$\frac{{n}^{4}+2{n}^{2}+1}{{n}^{4}+2{n}^{2}}$
=1+$\frac{1}{{n}^{4}+2{n}^{2}}$＞1，
则e₁•e₂＞1．
故选：A．

点评 本题考查双曲线和椭圆的离心率的关系，考查椭圆和双曲线的方程和性质，以及转化思想和运算能力，属于中档题．