Question

【题目】已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成一个面积为的等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，设椭圆的左右顶点分别为、，右焦点为，是椭圆上异于，的动点，直线与椭圆在点处的切线交于点，当点运动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，证明见解析

【解析】

（1）由条件可知，，解得，再根据条件求；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，表示点的坐标，并表示直线的方程，利用两直线的交点求点的坐标，并表示圆心，利用圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.

解：（1）设椭圆半焦距为，

依题意有，∴，，，故的方程为.

（2）以为直径的圆与直线相切，

证明如下：易知，，，在点处的切线方程为.

由题意可设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为.

由得.

设点的坐标为，则.

所以，.

①当时，点的坐标为，点的坐标为.

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切.

②当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为.

点到直线的距离

.

又因为，故以为直径的圆与直线相切.

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切.