Question

已知函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）若f(x)≥k2-

4

3

k对x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，结合奇函数的性质，可得f（0）=0，即可得

a+a-2

1+1

=0，解可得a的值；
（2）将a=1代入f（x）可得f（x）的解析式，设设x₁＜x₂，再做差变形可得f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，由指数函数的性质，判断可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得证明；
（3）由（2）的结论可得，f（x）在[-1，2]上为增函数，分析可得，f（x）在[-1，2]上的最小值，结合题意可得-

1

3

≥k²-

4

3

k，解可得答案．

解答：解：（1）根据题意，函数f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即

a+a-2

1+1

=0，解可得a=1，
即a=1；
（2）由（1）得a=1，则f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
（3）由（2）可得，f（x）在[-1，2]上为增函数，
则f（x）在[-1，2]上的最小值为f（-1）=-

1

3

，
又由f(x)≥k2-

4

3

k对x∈[-1，2]恒成立，
则-

1

3

≥k²-

4

3

k，
即3k²-4k+1≤0，解可得

1

3

≤k≤1，
故实数k的取值范围是[

1

3

，1]．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及函数的恒成立问题，关键是理解运用单调性、奇偶性以及函数的最值之间的关系．