Question

设

a

=（a_1，a_2），

b

=（b_1，b_2）定义向量积：

a

?

b

=（a_1b_1，a_2b_2）
已知

m

=（2，

1

2

）

n

=（

π

3w

，m）（w＞0）点p（x，y）为曲线y=sinwx上的动点，点Q为曲线y=f（x）上的动点
且满足

OQ

=

m

?

OP

+

n

（其中0为坐标原点）
（1）求函数y=f（x）的解析式（用w、m表示）；
（2）当m=-

1

2

时，函数f（x）的图象与直线y=-1的所有交点的最小距离为

π

3

，求w的值；
（3）若函数f（x）满足条件f（x+3）+f（x）=0，当x∈[0，1]时，-4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先，设P（x，sinwx），然后，依据向量关系，得到所以Q(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)，利用点Q在给定的曲线上，建立关系式，然后化简即可；
（2）直接依据周期公式进行求解w；
（3）首先，结合f（x+3）+f（x）=0，得到函数f（x）的解析式，然后，结合给定的范围，求解即可．

解答： 解：（1）因为点P（x，y）在曲线y=sinwx上，
则设P（x，sinwx）
由已知得

OQ

=(2，

1

2

)?(x，sinwx)+(

π

3w

，m)=(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)
∴Q(2x+

π

3w

，

1

2

sinwx+m)
因为点Q在曲线y=f（x）上，
∴f(2x+

π

3w

)=

1

2

sinwx+m，
令2x+

π

3w

=t且t∈R则x=

1

2

t-

π

6w

，
∴f(t)=

1

2

sinw(

1

2

t-6

π

w

)+m，
即f(x)=

1

2

sin(

1

2

wx-

π

6

)+m(w＞0)．
（2）∵m=-

1

2

所以f(x)=

1

2

sin(

1

2

wx-

π

6

)-

1

2

由题意得T=

π

3

=

2π

1 2 ω

，
解得w=12．
（3）∵f（x+3）+f（x）=0，
∴f(x+6)=f(x)T=66=

2π

1 2 w

w=

2

3

π所以f(x)=

1

2

sin(

1

3

πx-

π

6

)+m，
∵0≤x≤1，
∴0≤

1

3

πx≤

1

3

π-

π

6

≤

1

3

πx-

π

6

≤

1

6

π，
∴-

1

4

+m≤f(x)≤

1

4

+m又-

1

4

＜f(x)＜4恒成立
∴

- 1 4 +m＞-4 1 4 +m＜4

解得-

15

4

＜m＜

15

4

，
∴实数m的取值范围(-

15

4

，

15

4

)．

点评：本题综合考查了三角函数的性质、三角恒等变换等知识，属于中档题．