Question

对于函数y=f（x）的定义域为D，如果存在区间[m，n]⊆D同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]是单调的；②当定义域为[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]是该函数的“H区间”．若函数f（x）=

alnx-x(x＞0) -x -a(x≤0)

存在“H区间”，则正数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  4

  ，1]∪（2e，e²]
• B、（

  3

  4

  ，1]∪（2e，e²]
• C、（

  1

  4

  ，3]∪（e，e²]
• D、（

  3

  4

  ，2]∪（e，e²]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据定义，利用分段函数结合函数的图象函数的最值求出a的范围即可．

解答： 解：当x＞0时，f（x）=alnx-x，
f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

，
由f′（x）≥0，
得

a-x

x

≥0，得0＜x≤a，此时函数f（x）为增函数，
当x=n时，取得最大值，
当x=m时，取最小值，
即

alnn-n=n alnm-m=m

，
即方程alnx-x=x有两个解，
即方程a=

2x

lnx

有两个解，作出y=

2x

lnx

的图象，
由图象以及函数的导数可知，
当x＞1时，y=

2x

lnx

，在x=e处取得最小值2e，
在x=a时，y=

2a

lna

，
故方程a=

2x

lnx

有两个解，
∴a≤

2a

lna

，
解得a≤e²，正数a的取值范围是（2e，e²]．
当x＞a时，函数f（x）为单调减函数，
则当x=m时，取得最大值，
当x=n时，取得最小值，
即

alnn-n=m alnm-m=n

，
两式相减可得，alnm-alnn=0，即m=n，不符合；
当x≤0时，函数f（x）为减函数，
则当x=m时取最大值，
当x=n时，取得最小值，
即

-m -a=n -n -a=m

，两式相减，
可以得到

-m

+

-n

=1，回代到方程组的第一个式子得到
1-

-n

-a=n，
整理得到1-

-n

-n=a，
由图象可知，方程有两个解，
则

3

4

＜a≤1，
综上正数a的取值范围是（

3

4

，1]∪（2e，e²]，
故选：B

点评：本题主要考查函数单调性的应用以及函数的最值考查数形结合，综合性较强．