Question

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$．
（1）求证：f（x）+f（1-x）=1；
（2）求f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数解析式直接代入即可证明f（x）+f（1-x）=1；
（2）设f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）=m，利用倒序相加法进行求解即可．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$．
∴f（x）+f（-x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{2}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{2}^{x}}$=$\frac{{2}^{x}+\sqrt{2}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}=1$．
（2）设f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）=m，
则f（$\frac{2012}{2013}$）+f（$\frac{2011}{2013}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）=m，
两式相加得2m=2012[f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2012}{2013}$）]=2012，
则m=1006，
即f（$\frac{1}{2013}$）+f（$\frac{2}{2013}$）+…+f（$\frac{2012}{2013}$）=1006．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用倒序相加法是解决本题的关键．