Question

已知命题p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意义．
（1）若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）若p∨q是真命题，若p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．当x=4时，不成立；当x≠4时，利用二次函数的单调性可得a=

-4

x2-4x

=-

4

(x-2)2-4

＞0．
命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意义．分类讨论：当a=0时，当a≠时，则

a＞0 △=a2-16a＜0

，解得a的范围．
（1）由于￢p是真命题，可得p是假命题，即可得出实数a的取值范围；
（2）由于p∨q是真命题，p∧q是假命题，可得p与q必然一真一假．

解答： 解：命题p：存在x∈[1，4]使得ax²-4ax+4=0成立．当x=4时，不成立；当x≠4时，a=

-4

x2-4x

=-

4

(x-2)2-4

＞0，∴a＞0．
命题q：对于任意x∈R，函数f（x）=lg（ax²-ax+4）恒有意义．当a=0时，f（x）=lg4满足条件；当a≠时，则

a＞0 △=a2-16a＜0

，解得0＜a＜16．
∴a的取值范围是0≤a＜16．
（1）∵￢p是真命题，∴p是假命题，∴a≤0，∴实数a的取值范围是（-∞，0]；
（2）∵p∨q是真命题，p∧q是假命题，
∴p与q必然一真一假，
当p真q假时，

a＞0 a＜0或a≥16

，解得a≥16．
当q真p假时，

a≤0 0≤a＜16

，解得a=0．
综上可得实数a的取值范围是{0}∪[16，+∞）．

点评：本题考查了简易逻辑的判定、函数的值域、二次函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题．