Question

16．函数f（x）=$\frac{sin2xcosx}{1-sinx}$的值域是[-$\frac{1}{2}$，4）．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的值域，以及二次函数的性质求得函数的值域．

解答 解：函数f（x）=$\frac{sin2xcosx}{1-sinx}$=$\frac{2sinx{•cos}^{2}x}{1-sinx}$=$\frac{2sinx（1{-sin}^{2}x）}{1-sinx}$=$\frac{2sinx•（1+sinx）（1-sinx）}{1-sinx}$=2sinx（1+sinx），-1≤sinx＜1．
令sinx=t，则t∈[-1，1），f（x）=g（t）=2t（1+t）=2t²+2t=2${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
故当t=-$\frac{1}{2}$时，函数g（t）取得最小值为-$\frac{1}{2}$，当t的值趋于1时，g（t）的值趋于4，
故函数g（t）的值域为[-$\frac{1}{2}$，4），
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，4）．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正弦函数的值域，以及二次函数的性质应用，属于中档题．