Question

已知0≤x≤2，若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，则实数a的取值范围是

(-∞，-

25

4

]

．

Answer 1

分析：先将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）=4^x-3×2^x-4，的最小值问题，再利用换元法设t=2^x，将问题转化为求关于t的二次函数的最值问题，最后利用配方法求其最小值即可

解答：解：令f（x）=4^x-3×2^x-4，设t=2^x，则1≤t≤4
则f（x）=g（t）=t²-3t-4=（t-

3

2

）²-

25

4

，（1≤t≤4）
∴当t=

3

2

时，g（t）取最小值-

25

4

即f（x）=4^x-3×2^x-4的最小值为-

25

4

若不等式a≤4^x-3×2^x-4恒成立，只需a小于或等于f（x）的最小值，
∴a≤-

25

4

故答案为(-∞，-

25

4

]

点评：本题主要考查了不等式恒成立问题的一般解法，换元法求复合函数的值域，指数函数、二次函数的图象和性质，属基础题