Question

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，已知0≤x＜4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）记函数g（x）=x-f（x），在给出的坐标系中作出函数g（x）的图象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_a（x-

1

2

）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照f（x）的定义，分段讨论即可求出；
（Ⅱ）先把g（x）=x-f（x）表示出来，由g（x）的表达式可作出其图象；
（Ⅲ）数形结合：方程g（x）-log_a（x-

1

2

）=0（a＞0且a≠1）有且仅有一个实根，等价于g（x）与h（x）=loga(x-

1

2

) 图象仅有一个交点，结合图象可得到a的限制条件，由此可求其范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意，
①当0≤x＜1时，f（x）=[x]=0；②当1≤x＜2时，f（x）=[x]=1；
③当2≤x＜3时，f（x）=[x]=2；④当3≤x＜4时，f（x）=[x]=3；
所以f（x）=

0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，3≤x＜4

．
（Ⅱ） g（x）=x-f（x）=

x，0≤x＜1 x-1，1≤x＜2 x-2，2≤x＜3 x-3，3≤x＜4

，图象如图所示：
           
（Ⅲ）方程g（x）-loga(x-

1

2

)=0仅有一根等价于g（x）与h（x）=loga(x-

1

2

) 图象仅有一个交点，
由图象可知0＜a＜1 时，h（1）=loga

1

2

≥1=logaa，解得

1

2

≤a＜1；
a＞1时，h（2）=loga

3

2

≥1=logaa或

h(3)=loga 5 2 ＜1 h(4)=loga 7 2 ≥1

，解得1＜a≤

3

2

或

5

2

＜a≤

7

2

．
综上，a的范围是[

1

2

，1）∪（1，

3

2

]∪（

5

2

，

7

2

]．

点评：本题考查函数作图、函数解析式的求解及函数的零点问题，本题渗透了数形结合思想、分类讨论思想．