Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞

a2-b2

＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，上、下顶点分别为B₁、B₂，四边形B₁F₁B₂F₂的一个内角等于

π

3

，椭圆过点P（1，

3

2

）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|．

Answer 1

分析：（1）由b＞

a2-b2

=c，知∠F1B1F2=

π

3

，所以

b

a

=cos

π

6

=

3

2

，设所求椭圆方程为

3x2

4b2

+

y2

b2

=1，把点P（1，

3

2

）代入，能求出椭圆方程．
（2）c=

a2-b2

=1，离心率e=

1

2

，设直线l的方程为y=

1

2

x+m，代入椭圆方程，得x²+mx+m²-3=0，所以x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k₁与直线PB的斜率k₂互为相反数．

解答：解：（1）由b＞

a2-b2

=c，
知∠F1B1F2=

π

3

，
∴

b

a

=cos

π

6

=

3

2

，
设所求椭圆方程为

3x2

4b2

+

y2

b2

=1，
把点P（1，

3

2

）代入，得b²=3，a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）c=

a2-b2

=1，离心率e=

1

2

，
设直线l的方程为y=

1

2

x+m，
代入椭圆方程，整理得x²+mx+m²-3=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k₁与直线PB的斜率k₂互为相反数，
k₁+k₂=

y1- 3 2

x1-1

+

y2- 3 2

x2-1

=

(2y1-3)(x2-1)+(2y2-3)(x1-1)

2(x1-1)(x2-1)

∵（2y₁-3）（x₂-1）+（2y₂-3）（x₁-1）
=（x₁+2m-3）（x₂-1）+（x₂+2m-3）（x₁-1）
=2x₁x₂+（2m-4）（x₁+x₂）+6-4m
=2（m²-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k₁+k₂=0，
因此|PM|=|PN|．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．