Question

已知函数 .

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若且对任意恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在单调递增；在单调递减  4分

（Ⅱ）.

（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），令，解得

当时，，在单调递增；

当时，，在单调递减  4分

（Ⅱ）为偶函数，恒成立等价于对恒成立

解法1:当时，，令，解得

（1）当，即时，在减，在增

，解得，

（2）当，即时，，在上单调递增，

，符合，

综上，.                  9分 

解法2: 等价于对恒成立,

设则. 当时, ;当时, ;

时,  

 

（Ⅲ）

.   14分

考点：应用导数研究函数的单调性，证明不等式恒。

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，在某区间，导数值非负，函数为增函数，导数值非正，函数为减函数。不等式证明问题，往往通过构造函数，转化成了研究函数的最值，使问题得解。本题涉及不等式恒成立问题，通过研究函数的最值，解决了问题。