Question

过抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）已知A、B两点均在抛物线C：y²=2px（y≤0）上，若△MAB的面积的最大值为6，求抛物线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）不妨设   ，由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p．利用斜率公式可求
（2）AB的方程为：，即x+y，由点M到AB的距离d=及==，令p+y₁=t，可表示=，设f（t）=|4p²t-t³|，由偶函数的性质，只需考虑t∈[0，p]，利用导数的知识可得，f（t）在[0，p]单调递增可求三角形的面积的最大值，进而可求p及抛物线的方程
解答：证明：不妨设  
由K_AM=-k_BM可得y₁+y₂=-2p
∴
（2）AB的方程为：，即x+y
点M到AB的距离d=
==
又由y₁+y₂=-2p，y₁y₂＜0y₁∈[-2p，0]
令p+y₁=t∴t∈[-p，p]
=
设f（t）=|4p²t-t³|为偶函数，故只需考虑t∈[0，p]
f（t）=4p²t-t³，f′（t）=4p²-3t²＞0，f（t）在[0，p]单调递增
当t=p时，f（t）的最小值为：3p³

∴p=2，抛物线方程为：y²=4x
点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，要求考试具备一定的计算与推理的能力，试题具有一定的综合性．