Question

14．F₁，F₂分别为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），则|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 2
• C． 6
• D． 3

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），利用向量平行四边形法则及其三角形中位线定理可得：可得|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{2}A}|$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{1}A}|$，再利用椭圆定义即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得a=3．
如图所示，
∵$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$），$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$），
利用向量平行四边形法则及其三角形中位线定理可得：
∴|$\overrightarrow{OB}$|+|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{2}A}|$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{{F}_{1}A}|$=$\frac{1}{2}×2a$=3．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量平行四边形法则及其三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．