Question

5．已知点P（4，2）是直线l被椭圆$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$所截得的线段的中点，
（1）求直线l的方程
（2）求直线l被椭圆截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为：y-2=k（x-4），交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．
（2）利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）设直线l的方程为：y-2=k（x-4），交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-4k}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8k（2-4k）x+4（2-4k）²-36=0．（*）
∴x₁+x₂=$-\frac{8k（2-4k）}{1+4{k}^{2}}$=8，解得k=-$\frac{1}{2}$
∴直线l的方程为：x+2y-8=0．
（2）把k=-$\frac{1}{2}$代入方程（*）可得：x²-8x+14=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=14．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{4}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{4}×（{8}^{2}-4×14）}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．