Question

13．已知函数f（x）=cos$（{x-\frac{π}{2}}）$，g（x）=e^x•f（x），其中e为自然对数的底数．
（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
（2）若对任意$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义即可求出曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；
（2）构造函数H（x）=g（x）-xf（x），$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$；利用导数判断函数的单调性，
根据根的存在性定理即可判断函数H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上零点的个数．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e^xsinx，
∴g（0）=e⁰sin0=0；
g'（x）=e^x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；
故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；
（2）设H（x）=g（x）-xf（x），$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$；
则当$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，
H'（x）=e^x（cosx+sinx）-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x-1）sinx，
当$x=\frac{π}{2}$，显然有$H'（{\frac{π}{2}}）＜0$；
当$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$时，由$\frac{sinx}{cosx}=tanx≥1，\frac{{{e^x}-x}}{{{e^x}+1}}=1-\frac{1+x}{{{e^x}+1}}＜1$，
即有$\frac{sinx}{cosx}＞\frac{{{e^x}-x}}{{{e^x}+1}}$，
即有H'（x）＜0，
所以当$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，总有H'（x）＜0，
故H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上单调递减，
故函数H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上至多有一个零点；
又$H（{\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{{e^{\frac{π}{4}}}-\frac{π}{4}}）＞0$，$H（{\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}＜0$；
且H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上是连续不断的，
故函数H（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上有且只有一个零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．