Question

16．点N是圆（x+5）²+y²=1上的动点，以点A（3，0）为直角顶点的Rt△ABC另外两顶点B、C，在圆x²+y²=25上，且BC的中点为M，则|MN|的最大值为$\frac{15+\sqrt{23}}{2}$．

Answer 1

分析 求出M的轨迹方程，得出圆心距，即可得出结论．

解答 解：由题意，MA=MC，
设M（x，y），则x²+y²+（x-3）²+y²=25，即（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{23}{4}$，表示以D（$\frac{3}{2}$，0）为圆心，$\frac{\sqrt{23}}{2}$为半径的圆，
∵|ND|=5+$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{2}$，
∴|MN|的最大值为$\frac{13}{2}$+1+$\frac{\sqrt{23}}{2}$=$\frac{15+\sqrt{23}}{2}$，
故答案为$\frac{15+\sqrt{23}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生转化问题的能力，属于中档题．