Question

12．已知函数f（x）=3x²+2ax-a²，其中a∈（0，3]，f（x）≤0对任意的x∈[-1，1]都成立，在1和a两数间插入2015个数，使之与1，a构成等比数列，设插入的这2015个数的乘积为T，则T=（　　）

• A． 2²⁰¹⁵
• B． 3²⁰¹⁵
• C． ${3}^{\frac{2015}{2}}$
• D． ${2}^{\frac{2015}{2}}$

Answer 1

分析 由f（x）≤0对任意的x∈[-1，1]都成立，可得f（x）在x∈[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，得到a的值，再由在1和a两数间插入2015个数，使之与1，a构成等比数列求得等比数列的公比，结合指数式的运算性质求得T．

解答 解：由f（x）=3x²+2ax-a²=$3（x+\frac{a}{3}）^{2}-\frac{4{a}^{2}}{3}$，
∵a∈（0，3]，
∴$-\frac{a}{3}∈[-1，0）$，
则f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为f（1）=-a²+2a+3．
由f（x）≤0对任意的x∈[-1，1]都成立，
得-a²+2a+3≤0，解得a≤-1或a≥3．
∴a=3．
在1和a两数间插入2015个数，使之与1，a构成等比数列，
即在1和3两数间插入2015个数，使之与1，3构成等比数列，
设所得等比数列的公比为q，
则${a}_{2017}={a}_{1}{q}^{2016}$，即q²⁰¹⁶=3．
∴T=q•q²•q³…q²⁰¹⁵=q^1+2+…+2015=${q}^{\frac{2016×2015}{2}}$=${3}^{\frac{2015}{2}}$．
故选：C．

点评 本题考查数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，考查了等比数列的通项公式与等差数列的前n项和，是中档题．