Question

如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点
（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．
（Ⅱ）证明：AM⊥PM．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；利用线面平行的判定定理证明即可；
（Ⅱ）过P作PE⊥CD，连接AE，ME，只要证明PE⊥AM，并且AM⊥ME，利用线面垂直的判定定理得到AM⊥平面PME，再利用线面垂直的性质可证．

解答： （Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；
证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，
所以CM平行且相等于DN，
所以四边形MCNA为矩形，
所以CN∥AM，又CN?平面AMP，AM?平面AMP，
所以CN∥平面AMP．
（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，
因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2

2

，M为BC的中点
所以PE⊥平面ABCD，CM=

2

，
所以PE⊥AM，
在△AME中，AE=

AD2+DE2

=3，ME=

CE2+MC2

=

3

，AM=

AB2+BM2

=

6

，
所以AE²=AM²+ME²，
所以AM⊥ME，
所以AM⊥平面PME
所以AM⊥PM．

点评：本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．