Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．
对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．

解答：证明：（Ⅰ）连接OE．
∵O是AC的中点，E是PC的中点，
∴OE∥AP，
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．                                      
（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，
PO⊥BD，
又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC．                                      
∵BD?平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．

点评：本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行⇒线面平行；二是面面平行⇒线面平行．
证明面面垂直的常用方法是：线面垂直⇒面面垂直．