Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sin2x-1，cosx）$，$\overrightarrow n=（1，-2cosx）$，$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$，x∈R．
（1）求f（x）的单调增区间及对称中心；
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=0，b=1，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的数量积公式，结合降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，我们可以求出函数的单调增区间及对称中心，
（2）先求出A的值，再根据三角形的面积和余弦定理即可求出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x-cos2x-2$=$2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-2$，
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
所以f（x）的单调增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈Z$．
令$2x-\frac{π}{6}=kπ$，可得$x=\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ，k∈Z$，
所以函数f（x）的对称中心为$（{\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ，-2}）（k∈Z）$．
（2）∵f（A）=$2sin（{2A-\frac{π}{6}}）-2=0$，
∴$sin（{2A-\frac{π}{6}}）=1$，
∵A∈（0，π）
∴$2A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{11π}{6}）$，
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，A=\frac{π}{3}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\sqrt{3}，b=1$，
∴c=4，
由余弦定理${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA=1+16-2×1×4×\frac{1}{2}=13$，
∴$a=\sqrt{13}$．

点评 本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的图象和性，以及三角形的面积公式和余弦定理，属于中档题