Question

9．若实数x，y满足2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2），则xy=-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先根据对数的运算性质和基本不等式得到2x-3≤2ln（2x-1）-2ln2，t=2x-1，再构造函数f（t）=t-2-2lnt+2ln2，利用到求出函数的最值，即可求出x，y的值

解答 解：2x-3≤ln（x+y+1）+ln（x-y-2）=ln（x+y+1）（x-y-2）≤ln$\frac{（2x-1）^{2}}{4}$=2ln（2x-1）-2ln2，当且仅当x+y+1=x-y-2时取等号，即y=-$\frac{3}{2}$，
设t=2x-1，
则t-2≤2lnt-2ln2，
令f（t）=t-2-2lnt+2ln2，
∴f′（t）=1-$\frac{2}{t}$=$\frac{t-2}{t}$，
当f′（t）＞0时，解得t＞2，函数f（t）递增，
当f′（t）＜0时，解得0＜t＜2，函数f（t）递减，
∴f（t）_min=f（2）=0，
∴t=2，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴xy=-$\frac{9}{4}$，
故答案为：-$\frac{9}{4}$

点评 本题考查了基本不等式和导数和函数的最值得关系，考查了学生的分析解决问题的能力，属于中档题