Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$满足：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，（x，y∈R），则x+y的最大值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OC}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=1，整理可得：x²+y²=1，设x=cosθ，y=sinθ，由辅助角公式可知$x+y=cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，根据正弦函数图象及性质，即可求得x+y的最大值．

解答 解：由|$\overrightarrow{OC}$|=1，可知|$\overrightarrow{OC}$|²=（x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$）²=1，
∴x²|$\overrightarrow{OA}$|²+y²|$\overrightarrow{OB}$|²+2xy$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，
∴x²+y²=1，
设x=cosθ，y=sinθ，则：$x+y=cosθ+sinθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴由正弦函数及性质可知：x+y的最大值是$\sqrt{2}$，
故答案选：C．

点评 本题考查向量数量积的运算，辅助角公式及正弦函数图象及性质，考查换元法，属于中档题．