Question

（2011•江西模拟）已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1（x∈R）．若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，把x₀代入化简后的函数解析式可得到sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，再根据x₀的范围可求出cos（2x₀+

π

6

）的值，利用cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，我们就可以得出结论

解答：解：函数f(x)=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
因为f（x₀）=

6

5

，所以sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
从而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

．
所以cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

点评：本题主要考查二倍角的正弦与余弦、辅助角公式、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，利用2x₀=（2x₀+

π

6

）-

π

6

是我们思维的亮点所在．