Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且在[0，2]上单调，若存在x∈（0，2）使f（x）=0，则方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于    ．

Answer 1

【答案】分析：利用f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=f（x），∴函数是以4为周期的周期函数，又因为偶函数在[0，2]上单调，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，可得在x∈[2002，2006]上两根之和及在x∈[2006，2010]上两根之和，从而得解．
解答：解：由题意，∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），∴函数以4为周期，
∵偶函数在[0，2]上单调，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，
∴在x∈[2002，2006]上两根之和为2004×2=4008，
在x∈[2006，2010]上两根之和为2008×2=4016，
∴方程f（x）=0在x∈[2002，2010]上所有根的和等于4008+4016=8024
故答案为8024．
点评：本题的考点是函数的周期性，主要考查函数的周期，函数的零点，关键是利用条件f（x+2）=-f（x），判断出函数的周期，利用函数在[0，2]上单调，且存在x∈（0，2）使f（x）=0，从而研究方程根问题．