Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得

PF1

•

PF2

＜0的M点的概率为

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：设P（x₀，y₀），由

PF1

•

PF2

=（x₀+

3

）（x₀+

3

）+y₀²=0，和

x02

4

+y02=1，联合解得x₀=±

2 6

3

，而M点在（-

2 6

3

，

2 6

3

）之间，由几何概型可得．

解答： 解：由题意可得|A₁A₂|=2a=4，b=1，c=

3

，
设P（x₀，y₀），当

PF1

•

PF2

=0，
∴（x₀+

3

）（x₀+

3

）+y₀²=0，又

x02

4

+y02=1，
联合解得x₀=±

2 6

3

，符合

PF1

•

PF2

＜0的M点在（-

2 6

3

，

2 6

3

）之间，
∴所求概率P=

2 6 3 -(- 2 6 3 )

4

=

6

3

，
故答案为：

6

3

点评：本题考查几何概型，涉及椭圆的知识和向量的数量积与垂直关系，属中档题．