Question

（本小题满分14分）
设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（Ⅰ）求数列与数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）不存在正整数，使得成立，理由见解析。
（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ）当时，
又

∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，……………………………3分
（II）不存在正整数，使得成立。
证明：由（I）知

∴当n为偶数时，设
∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有
∴不存在正整数，使得成立。………………………………8分
（III）由得
又，
当时，，
当时，
 …………………14分