Question

已知a∈R，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

分析：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出导函数f′（x），然后讨论a研究函数在[1，2]上的单调性，对a分类讨论，利用函数的单调性求出函数f（x）的最小值，得到最小值的表达式．

解答：解：函数f（x）=x²（x-a）=x³-ax²．
f′（x）=3x²-2ax．
（1）当a=1时，y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是k=2，而f（1）=1，
曲线y=f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y-1=1（x-1），即x-y=0．
（2）∵f′（x）=3x²-2ax．
 令f′（x）=0得 x=0或x=

2a

3

①若a≤0则当1≤x≤2时，f′（x）＞0 所以f（x）在区间[1，2]上是增函数，
所以h（a）=f（1）=1-a
②若0＜a＜

3

2

 即0＜

2a

3

＜1 则当1≤x≤2时，f′（x）＞0
所以f（x）=在区间[1，2]上是增函数，所以h（a）=f（1）=1-a
③若

3

2

≤a＜3 即1≤

3

2

a＜2 则当1＜x＜

2

3

a时，f′（x）＜0
当

2a

3

＜x＜2时，f′（x）＞0所以f（x）在区间[1，

2a

3

]上是减函数，在区间[

2a

3

，2]上是增函数．
所以h（a）=f（

2a

3

）=-

4

27

a3
④若a≥3 即

2a

3

≥2 则当1＜x＜2时，
f′（x）＜0所以f（x）在区间[1，2]上是减函数．所以h（a）=f（2）=8-4a
综上所述，函数f（x）在区间[1，2]的最小值h(a)=

1-a    a＜ 3 2 - 4 27 a3     3 2 ≤a＜3 8-4a      a≥3

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，考查分类讨论的思想，计算能力，常考题型，属于中档题