Question

14．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=0$，则$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}$的值为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $-\frac{1}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 先将一个向量用其余两个向量表示出来，然后借助于平方使其出现向量模的平方，则才好用上外接圆半径，然后进一步分析结论，运用向量的加减运算和数量积的性质，容易化简出要求的结果．

解答 解：因为3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
所以3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$=-5$\overrightarrow{OC}$，
所以9$\overrightarrow{OA}$²+24$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+16$\overrightarrow{OB}$²=25$\overrightarrow{OC}$²，
因为A，B，C在圆上，所以|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1．
代入原式得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
所以$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=-$\frac{1}{5}$（3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=-$\frac{1}{5}$（-3$\overrightarrow{OA}$²+4$\overrightarrow{OB}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{5}$×（-3+4-0）
=-$\frac{1}{5}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量在几何问题中的应用．要利用向量的运算结合基底意识，将结论进行化归，从而将问题转化为基底间的数量积及其它运算问题．