Question

【题目】过抛物线的焦点作倾斜角为45°的直线，直线与抛物线交于，若．

（1）抛物线的方程；

（2）若经过的直线交抛物线于，若，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据题意可得直线的方程为，再根据韦达定理结合，即可求出；

（2）当直线的斜率不存在求出，当直线的斜率存在，根据韦达定理和中点坐标公式，根据，得出点在线段的中垂线上，求得的值，即可求出直线方程

（1）依题意：，则直线的方程为，

由，消可得，

设，则，

∴，∴，

故抛物线的方程为．

（2）若经过的直线的斜率不存在，此时直线与抛物线交于，则关于轴对称，满足，即直线满足题意．

若经过的直线的斜率存在，设它为，则．

由，消可得

设，则，

∴，∴，

∵，∴点在线段的中垂线上，

即线段的中垂线为：，

即，即

所以直线的方程为即．

故直线的方程为或．