Question

【题目】四棱锥的底面ABCD是边长为a的菱形，面ABCD，，E，F分别是CD，PC的中点.

（1）求证：平面平面PAB；

（2）M是PB上的动点，EM与平面PAB所成的最大角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

(1)分别证明,,进而证明平面,从而得到平面平面即可.

(2) 连结,则根据(1)平面可知为直线与平面所成的线面角,进而分析可得.再建立空间直角坐标系求解二面角大小即可.

(1)证明：由题意,四边形是边长为的菱形,,为的中点,故,.由余弦定理可得,解得 .故.故,.故.

又面,面.故.又,故平面.

又平面.故平面平面.

(2)连结,则根据(1)平面可知为直线与平面所成的线面角,所以在中, ,所以当最小,即时,取得最大值,此时,设则有,解得.

即.由(1)有.故以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系.

则.故.

所以.

设面的法向量,则 .

即,令则.

又平面的法向量.故二面角大小的余弦值

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