Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，且的面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，直线的方程为.

【解析】试题分析：（1）由三角形的面积，即可求得c=2,将点代入椭圆方程，由椭圆的性质a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）直线的方程为，则原点到直线的距离，由弦长公式可得．将代入椭圆方程，得，得．可得．可得所求结论.

试题解析：（1）由的面积可得，即，∴．①

又椭圆过点，∴．②

由①②解得，，故椭圆的标准方程为．

（2）设直线的方程为，则原点到直线的距离，

由弦长公式可得．

将代入椭圆方程，得，

由判别式，解得．

由直线和圆相交的条件可得，即，也即，

综上可得的取值范围是．

设，，则，，

由弦长公式，得．

由，得．

∵，∴，则当时，取得最小值，此时直线的方程为．

点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．